Kalkulator liczb zespolonych

Zapis a+bi odpowiada punktowi na płaszczyźnie

Oś pozioma przedstawia a, a pionowa b. Liczba 3+4i leży w punkcie (3,4), a jej moduł wynosi 5 z twierdzenia Pitagorasa.

Symbol i spełnia i² = −1. Nie jest zmienną, którą można po prostu usunąć; porządkuje składnik prostopadły do osi rzeczywistej.

Dodawanie i odejmowanie działa osobno na współrzędnych

(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i. Przy odejmowaniu odejmuje się obie części drugiej liczby, dlatego nawias jest ważny.

Geometrycznie jest to dodawanie wektorów. Wynik można kontrolować, patrząc na przesunięcie poziome i pionowe.

Iloczyn ma część rzeczywistą ac−bd

Po rozwinięciu pojawia się bd i², które zmienia znak. Część urojona wynosi ad+bc. Pomyłka znaku jest najczęstszym błędem rachunku.

W postaci biegunowej moduły się mnożą, a argumenty dodają. To wygodne przy wielu iloczynach i potęgach.

Przy dzieleniu mnoży się przez sprzężenie mianownika

Sprzężenie c−di sprawia, że mianownik staje się c²+d², liczbą rzeczywistą. Dzielenie przez 0+0i jest niemożliwe.

Moduły się dzielą, a argument drugiej liczby odejmuje. Obie metody powinny prowadzić do tego samego wyniku z dokładnością do zaokrąglenia.

Argument musi uwzględniać właściwą ćwiartkę

Zwykłe arctan(y/x) gubi informację o znakach i nie działa dla x=0. Funkcja atan2(y,x) wybiera właściwy kąt w zakresie obejmującym wszystkie ćwiartki.

Ten sam kierunek można opisać kątami różniącymi się o 2π. Kalkulator pokazuje wartość główną w radianach i stopniach.

Sprzężenie odbija punkt względem osi rzeczywistej

Dla x+yi sprzężenie ma postać x−yi. Iloczyn liczby i sprzężenia wynosi x²+y², czyli kwadrat modułu.

Liczby zespolone są używane w elektrotechnice, przetwarzaniu sygnałów i równaniach. W zastosowaniach trzeba zachować konwencję znaku oraz jednostki reprezentowanej wielkości.

Dodawanie i mnożenie wykorzystują inne reprezentacje

W postaci a+bi dodawanie polega na osobnym zsumowaniu części rzeczywistych i urojonych. Mnożenie wymaga użycia i²=−1: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i. Przy dzieleniu mnoży się licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, aby uzyskać rzeczywisty mianownik c²+d².

W postaci biegunowej z=r(cosφ+i sinφ) mnożenie jest prostsze: moduły się mnożą, a argumenty dodają. Dzielenie dzieli moduły i odejmuje kąty. Przed użyciem sprawdź, czy kalkulator oczekuje stopni czy radianów; ta sama liczba kąta daje zupełnie inny punkt.

Argument nie jest jednoznaczny bez wyboru gałęzi

Kąty różniące się o 2π opisują tę samą liczbę. Funkcja atan2(y,x) wybiera argument główny z ustalonego przedziału i poprawnie rozpoznaje ćwiartkę, podczas gdy zwykłe arctan(y/x) traci informację o znakach oraz nie działa dla x=0.

Przy pierwiastkach i logarytmie wielowartościowość jest istotna. Liczba niezerowa ma n różnych pierwiastków n-tego stopnia rozmieszczonych równomiernie na okręgu. Kalkulator pokazujący tylko jeden wynik powinien jasno wskazać, że jest to wartość główna, a nie pełen zbiór rozwiązań.

Kontrola wyniku jest możliwa geometrycznie i algebraicznie

Moduł √(a²+b²) jest odległością od początku układu. Sprzężenie odbija punkt względem osi rzeczywistej, a iloczyn z·z̄ daje |z|². Te własności pomagają szybko wykryć błąd znaku. Po dzieleniu możesz pomnożyć wynik przez mianownik i sprawdzić, czy odzyskujesz licznik z tolerancją zaokrągleń.

Liczby zespolone opisują fazory w elektrotechnice, drgania, transformaty i równania. W zastosowaniach jednostki nadal mają znaczenie; i nie jest „dodatkową jednostką”, lecz operatorem obrotu o 90° w płaszczyźnie. Raportuj postać, jednostkę kąta oraz przyjętą konwencję znaku w wykładniku.

Działania, argument i kontrola wyniku

Liczbę z = a + bi opisują część rzeczywista a i urojona b, przy i² = −1. Dodawanie i odejmowanie wykonuje się osobno dla obu części. (3+2i)+(1−5i)=4−3i. Nie dodawaj modułów zamiast współrzędnych; moduł sumy zależy także od kierunku obu liczb na płaszczyźnie.

Przy mnożeniu rozwiń nawiasy i zastąp i² przez −1. (2+3i)(4−i)=8−2i+12i−3i²=11+10i. Typowy błąd pozostawia −3 zamiast +3. Po obliczeniu sprawdź moduł: |zw| powinien być równy |z|·|w| z dokładnością zaokrąglenia.

Dzielenie upraszcza się przez pomnożenie licznika i mianownika przez sprzężenie mianownika. Dla c+di sprzężenie to c−di, a iloczyn daje c²+d². Mianownik nie może być zerem. Nie zmieniaj znaku części rzeczywistej w sprzężeniu i pamiętaj, aby pomnożyć cały licznik, nie tylko ostatni składnik.

Moduł to √(a²+b²), a argument opisuje kąt. Użyj funkcji atan2(b,a), która rozpoznaje ćwiartkę. Zwykłe arctan(b/a) daje ten sam iloraz dla przeciwległych punktów i zawodzi przy a=0. Argument główny ma wybrany zakres, ale pełny zbiór różni się o wielokrotności 2π.

Postać biegunowa r(cos φ + i sin φ) upraszcza mnożenie: moduły się mnoży, argumenty dodaje. Przy dzieleniu moduły się dzieli, a argumenty odejmuje. Przed dodawaniem wróć jednak do postaci algebraicznej; nie można po prostu dodać promieni i kątów dwóch wektorów.

Wzór de Moivre’a daje zⁿ = rⁿ[cos(nφ)+i sin(nφ)] dla całkowitego n. Jest wygodny przy wysokich potęgach, lecz argument w radianach i stopniach nie może być mieszany. Po wyniku przelicz do postaci a+bi, jeśli dalsze równanie wymaga części rzeczywistej i urojonej.

Pierwiastki n-te nie są pojedynczą liczbą. Mają moduł r^(1/n) i argumenty (φ+2kπ)/n dla k=0,…,n−1. Dla z=1 pierwiastki czwarte to 1, i, −1 i −i. Pokazanie tylko dodatniego pierwiastka pomija większość rozwiązań równania w liczbach zespolonych.

Równość zespolona oznacza równość obu części. Równanie (x+iy)=(4−3i) daje x=4 oraz y=−3. Przy równaniach z rzeczywistym parametrem rozdziel część rzeczywistą i urojoną dopiero po rozwinięciu wszystkich działań. To często zamienia jedno trudne równanie w dwa zwykłe.

Zaokrąglaj na końcu. Moduł i argument użyte w kolejnych potęgach mogą wzmacniać błąd, zwłaszcza blisko osi i przy dużym n. Kalkulator powinien przechowywać większą precyzję niż wyświetla. Dla wyniku symbolicznego zachowaj ułamki i pierwiastki, jeśli mają prostą postać.

Na płaszczyźnie zespolonej dodawanie odpowiada przesunięciu wektorów, mnożenie przez i obrotowi o 90°, a sprzężenie odbiciu względem osi rzeczywistej. Wykres pomaga zauważyć zły znak szybciej niż ponowne czytanie rachunku. Jeśli wynik po mnożeniu przez i nie wygląda jak obrót, sprawdź regułę i².

W obwodach prądu przemiennego zespolona impedancja pozwala łączyć rezystancję i reaktancję, lecz znak części urojonej zależy od konwencji czasu. Dla cewki i kondensatora stosuje się przeciwne znaki. Kalkulator algebraiczny wykona działania, ale użytkownik musi spójnie przyjąć e^(jωt) lub inną konwencję, aby faza miała fizyczny sens.

W programowaniu zwróć uwagę na kolejność argumentów funkcji tworzącej liczbę oraz format zapisu części urojonej. Niektóre języki używają i, inne j, a parser może nie rozumieć „3+4i” jako jednej wartości. Przy porównaniu wyników używaj tolerancji dla liczb zmiennoprzecinkowych; część teoretycznie zerowa może pojawić się jako bardzo małe 10⁻¹⁶ po obliczeniach trygonometrycznych.

Pierwiastek i logarytm liczby zespolonej mogą mieć wiele wartości, a biblioteka programistyczna zwykle zwraca gałąź główną. Przy przejściu przez ujemną oś rzeczywistą argument może skoczyć o 2π, co wpływa na ciągłość wykresu i algorytmu. Jeżeli obliczenie należy do sterowania lub analizy sygnałów, zapisz przyjęty zakres argumentu zamiast porównywać wyłącznie końcowe części rzeczywistą i urojoną.