Kalkulator mediany

Dla nieparzystej liczby obserwacji wybierz środkową

Dane 8, 3, 11, 5, 7, 9, 4 trzeba najpierw ułożyć rosnąco: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11. Jest siedem wartości, więc środkowa ma po trzy obserwacje z lewej i prawej strony. Mediana wynosi 7.

Nie wybieraj środkowej pozycji z kolejności wpisania. Kolejność pomiaru, nazwisk albo wierszy arkusza nie ma znaczenia dla mediany. Liczy się porządek według wartości.

Mediana dzieli uporządkowany zbiór tak, że co najmniej połowa obserwacji nie jest większa od niej i co najmniej połowa nie jest mniejsza. Przy powtarzających się wartościach po obu stronach może znajdować się więcej niż połowa włącznie.

Dla parzystej liczby obserwacji uśrednij dwie środkowe

Jeśli do przykładu dodamy 6, uporządkowany zbiór ma postać 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Dwie środkowe wartości to 6 i 7. Mediana wynosi (6 + 7)/2 = 6,5.

Wynik 6,5 nie musi występować w danych. Jest punktem pomiędzy dwiema centralnymi obserwacjami. To normalne dla skali liczbowej, nawet gdy pojedyncze pomiary są całkowite.

W danych porządkowych bez sensownej operacji dodawania czasem raportuje się dwie środkowe kategorie lub wybiera kategorię według ustalonej konwencji. Zwykłe uśrednianie wymaga, aby odległości między wartościami miały znaczenie.

Liczy się pozycja, a nie odległość od środka

W oryginalnym zbiorze 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11 suma wynosi 47, a średnia około 6,714. Jeśli dodamy wartość 100, średnia ośmiu obserwacji rośnie do 18,375. Jedna liczba przesuwa ją o ponad 11 jednostek.

Po dodaniu 100 uporządkowane dane to 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 100. Mediana wynosi (7 + 8)/2 = 7,5. Zmienia się tylko o 0,5, ponieważ skrajna wartość zajmuje koniec szeregu, a nie środek.

Odporność nie oznacza całkowitej niewrażliwości. Jeśli wiele dużych obserwacji przesunie centralną pozycję albo zmieni się skład próby, mediana również się zmieni. Jej zaletą jest ograniczony wpływ pojedynczej ekstremalnej liczby.

W rozkładzie skośnym mediana opisuje typowy środek inaczej niż średnia

Dochody, ceny mieszkań i czas oczekiwania często mają długi prawy ogon. Kilka bardzo wysokich wartości podnosi średnią. Mediana odpowiada wtedy na pytanie o środkową obserwację i może być bliższa doświadczeniu typowej osoby.

Nie oznacza to, że mediana jest zawsze lepsza. Średnia wykorzystuje wielkość każdej obserwacji i jest właściwa, gdy interesuje nas łączna suma przypadająca na jednostkę, na przykład średni koszt budżetowy. Obie miary odpowiadają na inne pytania.

Najlepszy opis często zawiera medianę, kwartyle, średnią i wykres rozkładu. Sama mediana ukrywa, czy dane są skupione, czy bardzo rozproszone.

Oddzielaj liczby przecinkami, a część dziesiętną zapisuj kropką

Pole przyjmuje listę wartości, na przykład 8, 3, 11, 5. Jeśli liczba ma część dziesiętną, wpisz 2.75. Przecinek służy tutaj do rozdzielania obserwacji, dlatego zapis 2,75 zostałby odczytany jako dwie liczby: 2 i 75.

Sprawdź jednostki przed obliczeniem. Nie łącz kwot w złotych z kwotami w tysiącach złotych ani czasu w minutach z sekundami. Matematyka uporządkuje liczby, ale nie wykryje niespójnej skali.

Każdy powtórzony wynik jest osobną obserwacją i powinien pozostać na liście. Usunięcie duplikatów zmienia rozkład. Zbiór 1, 2, 2, 2, 10 ma medianę 2 właśnie dlatego, że wartość 2 występuje trzy razy.

Brak danych nie jest zerem

Puste pole pomiaru oznacza brak informacji, a zero może być prawdziwą wartością. Zastąpienie braków zerami przesuwa medianę, szczególnie gdy braków jest dużo. Najpierw ustal zasady postępowania z brakami.

Nie usuwaj obserwacji odstającej tylko dlatego, że zmienia średnią. Sprawdź, czy to błąd zapisu, inna jednostka, pomiar spoza zakresu czy prawdziwy rzadki przypadek. Decyzję i kryterium wykluczenia należy udokumentować.

Tabela uporządkowanych danych jest kontrolą. Kalkulator pokazuje maksymalnie pierwszych 50 pozycji, więc przy większym zbiorze warto sprawdzić również liczbę obserwacji oraz dane źródłowe.

• ujednolić jednostki i sposób zapisu
• zachować prawdziwe powtórzenia
• odróżnić zero od braku pomiaru
• wyjaśnić wartości odstające przed ich usunięciem

Kalkulator używa interpolacji liniowej R-7

Poza medianą narzędzie pokazuje Q1 i Q3 obliczone metodą nazywaną R-7. Dla percentyla p indeks ma postać h = (n − 1)p w numeracji od zera, a wartość jest liniowo interpolowana między sąsiednimi obserwacjami.

Dla siedmiu wartości 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11 indeks Q1 wynosi 6 × 0,25 = 1,5. Leży w połowie między drugą wartością 4 i trzecią 5, więc Q1 = 4,5. Q3 ma indeks 4,5 i wynosi 8,5.

Inna metoda może dzielić dane na dolną i górną połowę, a następnie brać ich mediany. W małych próbach wyniki kwartylów mogą się różnić. To nie musi oznaczać błędu — trzeba podać definicję.

Rozstęp międzykwartylowy opisuje środkową połowę danych

IQR = Q3 − Q1. W przykładzie wynosi 8,5 − 4,5 = 4. Obejmuje szerokość obszaru, w którym leży środkowe 50% uporządkowanych obserwacji według przyjętej definicji kwartylów.

IQR jest odporniejszy na skrajności niż pełny rozstęp maksimum minus minimum. Dlatego medianę często raportuje się jako mediana [Q1; Q3] albo mediana i IQR.

Reguła 1,5 × IQR może wskazywać obserwacje do sprawdzenia na wykresie pudełkowym, ale nie dowodzi, że są błędne. W rozkładzie o naturalnie długim ogonie wiele prawdziwych wartości może znaleźć się poza „wąsami”.

Waga określa, ile masy rozkładu reprezentuje obserwacja

Jeżeli każda wartość reprezentuje inną liczbę osób lub produktów, zwykła mediana listy nie wystarcza. Mediana ważona jest pierwszą wartością, przy której skumulowana waga osiąga co najmniej połowę całkowitej wagi.

Przykładowo ceny 10, 20 i 100 zł z wagami 1, 8 i 1 mają zwykłą medianę 20 i ważoną również 20. Gdyby cena 100 miała wagę 10, centralna masa przesunęłaby się w jej kierunku. Powielanie obserwacji zgodnie z całkowitymi wagami daje intuicję, ale przy dużych wagach lepiej liczyć kumulację.

W sondażach wagi mogą korygować prawdopodobieństwa doboru i strukturę populacji. Mediana ważona powinna być liczona przez oprogramowanie obsługujące projekt badania, szczególnie gdy potrzebny jest błąd standardowy.

Z przedziałów klasowych można uzyskać tylko przybliżenie

Jeśli dane są podane jako liczebności w przedziałach 0–10, 10–20 i 20–30, nie znamy dokładnych wartości jednostkowych. Można znaleźć klasę zawierającą połowę skumulowanej liczebności i interpolować wewnątrz niej, ale wynik zależy od założenia o rozkładzie w klasie.

Nie używaj środków przedziałów jako surowych danych bez zaznaczenia przybliżenia. Dwa zbiory o tej samej tabeli klas mogą mieć różne dokładne mediany.

Gdy dostępne są dane jednostkowe, licz medianę z nich. Grupowanie jest wygodne do prezentacji, lecz traci informację i może zmieniać granice centralne.

Mediana nie zastępuje pełnego opisu rozkładu

Dwa zbiory mogą mieć medianę 10, choć jeden skupia się między 9 i 11, a drugi obejmuje wartości od −100 do 200. Dodaj kwartyle, minimum, maksimum lub wykres, aby pokazać rozrzut.

W porównaniu grup zwróć uwagę na liczebność. Mediana z trzech obserwacji jest bardzo niestabilna, nawet jeśli jej obliczenie jest proste. Przedział ufności dla mediany wymaga osobnej metody, na przykład opartej na statystykach pozycyjnych lub bootstrapie.

Raportuj jednostkę i liczbę obserwacji. Zapis „mediana 7” jest niepełny, jeśli nie wiadomo, czy chodzi o dni, punkty, tysiące złotych czy ocenę na skali.

Jeżeli mediana i średnia mocno się różnią, nie wybieraj automatycznie wygodniejszej. Obejrzyj dane: przyczyną może być skośność, prawdziwa podgrupa, błąd jednostki albo pojedynczy ekstremalny przypadek.