Kalkulator siły grawitacji

Siła wynosi Gm₁m₂/r²

Każde dwa ciała o masie przyciągają się. Iloczyn mas znajduje się w liczniku, a kwadrat odległości w mianowniku. Podwojenie jednej masy podwaja siłę, natomiast podwojenie odległości zmniejsza ją czterokrotnie.

Odległość r mierzy się między środkami mas, nie między najbliższymi powierzchniami. Dla człowieka na Ziemi używa się odległości od środka planety, czyli około promienia Ziemi plus wysokość nad powierzchnią.

Stała grawitacji G jest bardzo mała

W jednostkach SI G ma wartość około 6,67430 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²). Dlatego przyciąganie dwóch przedmiotów codziennych jest niezmiernie słabe w porównaniu z tarciem, siłami elektrycznymi i ciężarem od Ziemi.

Wpisanie mas w gramach albo odległości w centymetrach bez konwersji prowadzi do błędnego wyniku. Najpierw zamień masy na kilogramy, dystans na metry, a dopiero potem podstawiaj.

Wzór F = mg korzysta z lokalnego przyspieszenia

Dla niewielkich wysokości nad Ziemią przyjmuje się g około 9,81 m/s², więc ciało o masie 10 kg ma ciężar około 98,1 N. Ta liczba wynika z prawa powszechnego ciążenia po podstawieniu masy i promienia Ziemi.

Masa pozostaje w kilogramach niezależnie od planety, ale ciężar zmienia się z g. Na Księżycu ta sama osoba ma tę samą masę, lecz mniejszy ciężar. Potoczne „ważę 70 kg” mówi o masie, nie o sile w niutonach.

1. sprowadź obie masy do kilogramów
2. zmierz odległość między środkami masy
3. sprawdź skalę wyniku względem innych sił

Przyspieszenie maleje wraz z wysokością

Na wysokości kilkuset metrów różnica jest mała, lecz dla satelity odległość od środka Ziemi wyraźnie rośnie. Nie używaj stałego 9,81 m/s² do obliczeń orbitalnych. Wyznacz g = GM/r² dla odpowiedniej odległości.

Stan nieważkości na orbicie nie oznacza braku grawitacji. Statek i jego zawartość wspólnie swobodnie spadają wokół Ziemi, dlatego nie ma typowej siły nacisku na podłogę.

Dla kul symetrycznych można użyć masy skupionej w środku

Na zewnątrz jednorodnej kuli jej pole grawitacyjne jest takie, jak gdyby cała masa znajdowała się w środku. To uzasadnia używanie promienia planety. Dla nieregularnej asteroidy lub ciała znajdującego się bardzo blisko rozległej masy potrzebne może być całkowanie rozkładu.

Wewnątrz kuli nie można nadal traktować całej masy jako punktu w środku. Znaczenie ma tylko odpowiednio rozłożona masa, a przyspieszenie zmienia się inaczej niż 1/r².

Na poziomie astronomicznym liczy się więcej niż para ciał

Prawo dla dwóch mas daje natychmiastową siłę między nimi, ale rzeczywisty układ planet jest zaburzany przez pozostałe ciała. Długoterminową trajektorię wyznacza się numerycznie z wielu oddziaływań.

Przy bardzo silnych polach, wysokiej precyzji lub prędkościach bliskich światłu teoria Newtona ustępuje ogólnej teorii względności. Kalkulator newtonowski pozostaje świetnym przybliżeniem dla większości zadań szkolnych i inżynierskich.

Dwie kule po 1000 kg oddalone o 1 m

Siła wynosi G × 1000 × 1000 / 1², czyli około 6,67 × 10⁻⁵ N. To zaledwie 0,0000667 niutona, mimo że każda masa ma tonę. Pokazuje to, dlaczego wzajemne przyciąganie mas laboratoryjnych wymaga bardzo czułych eksperymentów.

Jeżeli odległość między środkami wzrośnie do 2 m, wynik spadnie do około 1,67 × 10⁻⁵ N. Zbliżenie powierzchni dwóch dużych kul nie oznacza r = 0, ponieważ ich środki nadal dzieli suma promieni i szczelina.

Człowiek na powierzchni Ziemi

Dla masy Ziemi około 5,972 × 10²⁴ kg i odległości około 6,371 × 10⁶ m przyspieszenie GM/r² wynosi blisko 9,82 m/s² w modelu kuli. Osoba 70 kg doświadcza siły około 687 N. Lokalna wartość różni się przez obrót, kształt i rozkład masy Ziemi.

Waga łazienkowa jest wyskalowana tak, aby siłę nacisku przeliczać na kilogramy masy przy założonym g. W windzie przyspieszającej odczyt chwilowo się zmienia, choć masa osoby pozostaje taka sama.

Sprawdzenie rzędu wielkości wykrywa błędy wykładnika

Stała G zawiera 10⁻¹¹. Pominięcie minusa tworzy wynik większy o 10²². W kalkulatorze naukowym używaj zapisu E−11 i sprawdź nawiasy w r². Jednostka N powinna powstać po skróceniu kg oraz metrów.

Dla ciał astronomicznych wynik bywa ogromny, ale przyspieszenie jednego ciała otrzymujesz przez podzielenie siły przez jego masę. Trzecie prawo Newtona mówi, że siły na oba ciała są równe co do wartości; mniejsza masa ma za to większe przyspieszenie.

Siła jest wektorem wzdłuż linii środków

Kalkulator podaje dodatnią wartość, ale na każde ciało działa wektor skierowany ku drugiemu. W układzie współrzędnych oblicz najpierw wektor różnicy położeń, jego długość oraz wektor jednostkowy. Siły mają tę samą wartość i przeciwne zwroty.

Dla wielu ciał sumuj wektory, nie same wartości. Dwie równe masy po przeciwnych stronach mogą dać niemal zerową siłę wypadkową, mimo że każda siła osobno jest duża.

Model kuli można zweryfikować z przyspieszeniem

Po obliczeniu F podziel przez masę ciała testowego. Wynik powinien zgadzać się z GM/r² i nie zależeć od tej masy. Jeżeli zmiana masy testowej zmienia obliczone g, w arkuszu pomylono siłę z przyspieszeniem.

W raporcie podaj użyte G, masy, odległość między środkami i założenie punktowości lub symetrii kulistej. Przy planecie nieregularnej albo lokalnej anomalii grawitacyjnej prosta masa i promień nie dadzą wysokiej dokładności geodezyjnej.

Odległość mierzy się między środkami masy, nie między powierzchniami

Dla dwóch kul odległość r w prawie powszechnego ciążenia jest odległością ich środków. Jeżeli dwie kule o promieniu 0,2 m niemal się stykają, do wzoru trafia około 0,4 m, a nie kilka milimetrów szczeliny. Ponieważ siła zależy od odwrotności kwadratu odległości, ten błąd może zmienić wynik o wiele rzędów wielkości. Przy rozciągłych, nieregularnych obiektach model mas punktowych działa dobrze dopiero dostatecznie daleko.

Wynik dla małych przedmiotów jest zwykle niezwykle mały w porównaniu z ciężarem w polu Ziemi, tarciem czy siłami elektrostatycznymi. To nie oznacza, że wzór jest błędny; pokazuje skalę zjawiska. Dla satelity użyj masy planety i odległości od jej środka, czyli promienia planety powiększonego o wysokość orbity. Zachowaj jednostki SI: kilogramy, metry i stałą G w odpowiadających im jednostkach.